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抽屉原理的计算方法是什么?

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  其中一种简单的表述法为:若有n个笼子和n+1只鸽子,所有的鸽子都被关在鸽笼里,那么至少有一个笼子至少有2只鸽子

  另一种为:若有n个笼子和mn+1只鸽子,所有的鸽子都被关在鸽笼里,那么至少有一个笼子至少有m+1只鸽子

  原理1: 把多于或等于n+1个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

  抽屉原理证明(反证法):如果每个抽屉至多只能放进一个物体,那么物体的总数至多是n,而不是题设的n+k(k≥1),故不可能。

  原理2 :把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。

  证明(反证法):若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符,故不可能。

  原理3 :把无穷多件物体放入n个抽屉,则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。

  把(mn-1)个物体放入n个抽屉中,其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体。

  证明(反证法):若每个抽屉都有不少于m个物体,则总共至少有mn个物体,与题设矛盾,故不可能。

  桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。

  抽屉原理的一般含义为:“如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元素,假如有n+1个元素放到n个集合中去,其中必定有一个集合里至少有两个元素。” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。它是组合数学中一个重要的原理。

  形式一:设把n+1个元素划分至n个集合中(A1,A2,…,An),用a1,a2,…,an分别表示这n个集合对应包含的元素个数,则:至少存在某个集合Ai,其包含元素个数值ai大于或等于2。

  证明:(反证法)假设结论不成立,即对每一个ai都有ai2,则因为ai是整数,应有ai≤1,于是有:

  形式二:设把nm+1个元素划分至n个集合中(A1,A2,…,An),用a1,a2,…,an表示这n个集合对应包含的元素个数,则:至少存在某个集合Ai,其包含元素个数值ai大于或等于m+1。

  证明:(反证法)假设结论不成立,即对每一个ai都有aim+1,则因为ai是整数,应有ai≤m,于是有:

  知识扩展——高斯函数[x]定义:对任意的实数x,[x]表示“不大于x的最大整数”。例如:[3.5]=3,[2.9]=2,[-2.5]=-3,[7]=7,……一般地,我们有:[x]≤x[x]+1

  形式三:设把n个元素分为k个集合A1,A2,…,Ak,用a1,a2,…,ak表示这k个集合里相应的元素个数,需要证明至少存在某个ai大于或等于[n/k]。

  证明:(用反证法)假设结论不成立,即对每一个ai都有ai[n/k],于是有:

  k个[n/k] ∴ a1+a2+…+akn 这与题设相矛盾。所以,必有一个集合中元素个数大于或等于[n/k]

  形式四:设把q1+q2+…+qn-n+1个元素分为n个集合A1,A2,…,An,用a1,a2,…,an表示这n个集合里相应的元素个数,需要证明至少存在某个i,使得ai大于或等于qi。

  证明:(用反证法)假设结论不成立,即对每一个ai都有aiqi,因为ai为整数,应有ai≤qi-1,

  形式五:证明:(用反证法)将无穷多个元素分为有限个集合,假设这有限个集合中的元素的个数都是有限个,则有限个有限数相加,所得的数必是有限数,这就与题设产生矛盾,所以,假设不成立,故必有一个集合含有无穷多个元素。(借由康托的无穷基数可将鸽巢原理推广到无穷集中。)

  在上面的第一个结论中,由于一年最多有366天,因此在367人中至少有2人出生在同月同日。这相当于把367个东西放入 366个抽屉,至少有2个东西在同一抽屉里。在第二个结论中,不妨想象将5双手套分别编号,即号码为1,2,...,5的手套各有两只,同号的两只是一双。任取6只手套,它们的编号至多有5种,因此其中至少有两只的号码相同。这相当于把6个东西放入5个抽屉,至少有2个东西在同一抽屉里。

  “把多于kn+1个东西任意分放进n个空抽屉(k是正整数),那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。”

  利用上述原理容易证明:“任意7个整数中,至少有3个数的两两之差是3的倍数。”因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能,所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同,即它们两两之差是3的倍数。

  “把无限多个东西任意分放进n个空抽屉(n是自然数),那么一定有一个抽屉中放进了无限多个东西。”

  用高斯函数来叙述一般形式的抽屉原理的是:将m个元素放入n个抽屉,则在其中一个抽屉里至少会有

  抽屉原理的内容简明朴素,易于接受,它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。

  其中一种简单的表述法为:若有n个笼子和n+1只鸽子,所有的鸽子都被关在鸽笼里,那么至少有一个笼子至少有2只鸽子

  另一种为:若有n个笼子和mn+1只鸽子,所有的鸽子都被关在鸽笼里,那么至少有一个笼子至少有m+1只鸽子

  原理1: 把多于或等于n+1个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

  抽屉原理证明(反证法):如果每个抽屉至多只能放进一个物体,那么物体的总数至多是n,而不是题设的n+k(k≥1),故不可能。

  原理2 :把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。

  证明(反证法):若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符,故不可能。

  原理3 :把无穷多件物体放入n个抽屉,则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。

  把(mn-1)个物体放入n个抽屉中,其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体。